Durante más de siete décadas, un problema aparentemente abstracto ha rondado la cabeza de matemáticos de todo el mundo. La pregunta era sencilla de formular y dificilísima de responder. ¿Basta aplicar una y otra vez la llamada Modificación de Nash para “curar” todos los puntos problemáticos de ciertos objetos geométricos complejos? La respuesta ya es oficial. Un equipo con base en Chile y México ha demostrado que no. Y eso, en matemáticas, es un resultado enorme.
El trabajo lleva por título Nash blowup fails to resolve singularities in dimensions four and higher y se publicará en Annals of Mathematics, la revista de matemáticas puras más prestigiosa del mundo, editada por la Universidad de Princeton en colaboración con el Instituto de Estudios Avanzados. Sus autores son Álvaro Liendo y Maximiliano Leyton, de la Universidad de Talca, Federico Castillo, de la Pontificia Universidad Católica de Chile, y Daniel Duarte, de la Universidad Nacional Autónoma de México.
¿Qué hay detrás de este enunciado tan técnico? En geometría algebraica, las «singularidades» son puntos donde las figuras dejan de comportarse de forma suave. Si imaginamos una superficie como una sábana bien estirada, una singularidad sería una punta, un pliegue o una rotura. Desde los años sesenta se sabe, gracias a Heisuke Hironaka, que es posible reparar esas imperfecciones con un proceso general, aunque bastante complicado.
John Nash, el célebre matemático popularizado por la película «Una mente brillante», propuso otra vía. Su idea, hoy conocida como Modificación de Nash, consistía en reemplazar los puntos conflictivos por la información de cómo se pegan las direcciones posibles en torno a ellos. Dicho en sencillo, intentaba cambiar una esquina puntiaguda por algo mucho más redondeado. Durante décadas, muchos expertos se preguntaron si repetir este procedimiento las veces necesarias bastaría para eliminar todas las singularidades.
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El nuevo resultado demuestra que esa esperanza, al menos a partir de la cuarta dimensión, no se cumple. Los autores construyen ejemplos concretos donde ni siquiera iterando indefinidamente la Modificación de Nash se consigue una superficie completamente regular. La prueba se enmarca en el mundo de las variedades algebraicas, objetos centrales de la geometría moderna, y vale sobre campos algebraicamente cerrados y en cualquier característica, algo que la comunidad valora como un logro técnico de primer nivel.
Para quienes no viven entre fórmulas, una comparación puede ayudar. Imaginemos un taller que promete arreglar cualquier golpe de carrocería repitiendo siempre el mismo procedimiento. Lo que han mostrado estos investigadores es que, a partir de cierto nivel de complicación del golpe, ese método concreto deja de servir. El coche sigue siendo reparable, pero hará falta otra herramienta. En palabras de Maximiliano Leyton, el resultado no es un muro sino una señal que cierra una ruta y obliga a buscar caminos nuevos.
La repercusión no se limita a resolver una curiosidad teórica. El problema de Nash ha sido una de las conjeturas más influyentes de la geometría algebraica moderna. Saber que esta técnica no funciona en dimensión mayor o igual que cuatro permite a la comunidad dejar de invertir esfuerzo en una vía sin salida y orientar la energía hacia otros enfoques más prometedores. Los propios autores hablan de una pregunta abierta que por fin se cierra, al menos en una parte importante del panorama.
Además, el trabajo no se queda ahí. De forma complementaria, el mismo equipo ha demostrado después que, incluso en dimensión tres, ciertas versiones no normalizadas de la Modificación de Nash pueden fallar en su objetivo. En este caso producen un contraejemplo explícito donde, tras varias iteraciones, las singularidades siguen presentes. Es un golpe adicional a la idea de que este procedimiento, por sí solo, serviría como receta universal.
Desde el punto de vista latinoamericano, el logro también tiene una lectura simbólica. Publicar en Annals of Mathematics es algo que solo un puñado de matemáticos chilenos y de la región ha conseguido. El director del Instituto de Matemáticas de la Universidad de Talca lo ha descrito como un resultado histórico que sitúa al centro en la primera línea de la investigación internacional y refuerza la idea de que la ciencia de frontera también se hace desde el sur global.
Detrás del titular hay muchos años de trabajo silencioso. Buena parte de las ideas se fue tejiendo en encuentros como el congreso «Agrega 3», organizado por la Universidad de Talca para fomentar la colaboración entre grupos de distintas universidades. En ese ambiente, más de pizarra compartida que de grandes focos, surgieron las discusiones que terminaron en el artículo aceptado por Annals.
Queda, aun así, camino por recorrer. El propio equipo recuerda que siguen abiertas cuestiones en dimensión tres y, en otros contextos, incluso en dimensión dos. Cada respuesta, lejos de cerrar la puerta, abre nuevas preguntas. Para un joven que se pregunte si vale la pena estudiar matemáticas, este resultado es un ejemplo muy claro. Hay problemas que pueden tardar medio siglo en resolverse, pero cuando alguien consigue dar con la pieza que faltaba, la forma en que entendemos todo el paisaje cambia para siempre.
La nota de prensa oficial ha sido publicada en la Universidad de Talca.
