Harald Helfgott, investigador del CNRS nos habla sobre la resolución de la conjetura débil de Goldbach

Es la llamada conjetura débil de Goldbach. Se trata de probar que todo número impar mayor que cinco se puede expresar como la suma de tres primos. Por ejemplo, 7=3+2+2, 9= 3+3+3, etc.

Para empezar, felicidades por este resultado histórico. Estará muy satisfecho.

Sí, claro, aunque un poquito cansado también.

¿Cuál es exactamente el problema matemático que ha conseguido resolver?

Es la llamada conjetura débil de Goldbach. Se trata de probar que todo número impar mayor que cinco se puede expresar como la suma de tres primos. Por ejemplo, 7=3+2+2, 9= 3+3+3, etc. 

¿Cuándo se planteó por primera vez en la historia esta conjetura?

La enunció el matemático Christian Goldbach en el siglo XIX, en correspondencia con su gran amigo Euler. Ambos vivían en Rusia, uno en Moscú y otro en San Petesburgo, y mantenían una copiosa comunicación.

¿Qué resultados previos se conocían en relación a este problema?

En el siglo XIX se conocía el problema pero nadie llegó a probar nada. Más adelante, a principios del siglo XX, los matemáticos británicos Hardy y Littlewood demostraron que la conjetura era cierta para números impares más grandes que una cierta constante no especificada, siempre que se asumiera la llamada hipótesis generalizada de Riemann [que se encuentra en la lista de los siete Problemas del Milenio de la Fundación Clay]. Quince años después, para sorpresa de muchos, Vinogradov demostró que el mismo resultado era cierto de manera incondicional, es decir, que no hacía falta asumir la hipótesis generalizada de Riemann. En nuestra prueba, sin embargo, ha vuelto a aparecer este gran resultado.

Entonces, si ya se sabía que la propiedad era cierta a partir de un determinado número, ¿no se podía comprobar la veracidad de la conjetura usando la potencia computacional de los ordenadores?

El inconveniente es que se sabía que la conjetura era cierta para números sumamente grandes, más allá de la escala astronómica. No había ninguna posibilidad de corroborar dicho cálculo para una cantidad de números impares tan monstruosa. A lo largo de los años hubo mejoras graduales en estas cotas, hasta que hace diez años Liu y Wang llegaron a un resultado que aseguraba que el resultado era cierto para números impares mayores que e^3100, cuyo valor es del orden de 2×10^1346.  Dicha comprobación sigue siendo intratable en términos computacionales.

Y usted ha mejorado esta cota, ¿no es así?

Sí, la prueba propuesta en mi artículo comienza a ser válida a partir de 10^30, y la acabo de mejorar a 10^29. En realidad podría mejorarse sin gran problema a 10^28 o 10^27. La verificación numérica que aparece en el artículo conjunto que tengo con David Platt cubre todos los casos hasta 8,8×10^30 es decir, es más que suficiente. De todas maneras no es el cálculo más grande que hemos tenido que desarrollar en la demostración.

¿Puede explicar la filosofía detrás de este método?

Generalmente, en teoría de números se pretenden probar propiedades que se cumplen para todos los números enteros. En este caso particular, por ejemplo, queremos saber que todos los números enteros impares y mayores que cinco son suma de tres primos. Sin embargo, esta verificación no es siempre fácil, y una de las maneras de abordar estos problemas es usando las herramientas de la teoría analítica de números. Dichas técnicas permiten demostrar que la propiedad bajo estudio es cierta a partir de un cierto número en delante. Entonces, para ver que la propiedad es cierta para todos los números solo se debe verificar a mano, uno por uno, los números anteriores a la cota que da el método.

Pero, ¿por qué sabe que se cumple para números grandes, pero no para todos?

El problema se reformula en términos de la obtención de una estimación y de un error. A partir de cierto valor el error es muy pequeño en comparación al de la estimación, por lo que se puede asegurar que el resultado es cierto a partir de ese número. Para los números más pequeños que dicho valor crítico, el error es mayor que la estimación, y la técnica analítica deja de ser aplicable. A veces dicho número crítico es muy lejano y no es posible por consideraciones computacionales comprobar la propiedad para todos los números anteriores. Así que en esta situación no sabemos si el resultado es cierto o no para todos los números, sino que únicamente para valores suficientemente grandes.

¿Cuáles son a grandes rasgos las ideas de su demostración?

He abordado la conjetura débil de Goldbach con el llamado método del círculo, una herramienta clásica de la teoría analítica de números, que en este caso nos permite afirmar que la conjetura es cierta a partir de un número en adelante. Como ya he señalado, hasta ahora ese lugar era muy lejano, y lo he acercado, usando mejoras sustanciales del método. He reducido el término a partir del cual sé que el resultado es cierto a 10^30. Una vez hecho esto, la cantidad de números que había que comprobar a mano era mucho menor, y me ha sido posible hacerlo.

¿Cómo han mejorado el método?

Una de las cosas que tuve que hacer para mejorar los métodos existentes consistía en comprobar que una versión finita de la hipótesis generalizada de Riemann es cierta. El tipo de comprobación que hemos hecho tiene una larga historia, comenzando con Riemann y pasando por Turing. David Platt, en su tesis doctoral, rompió los récords anteriores en la materia: su comprobación iba casi tan lejos como lo que necesitaba. En coordinación conmigo, y gracias al tiempo de ordenador donado por varias instituciones, ha logrado extender su cálculo bastante mas allá de lo que al final utilicé.

¿Qué papel juega el ordenador en la demostración?

La parte más importante fue la comprobación de la hipótesis generalizada de Riemann en una serie de casos concretos. Después, el ordenador nos sirvió para verificar que cada impar menor a 10^30 (o incluso 8,8·10^30) podía expresarse como suma de tres primos. Otras personas habían hecho cálculos similares para números menores que 10^18,  por tanto no fue un gran esfuerzo probarlo hasta 10^30. De hecho, el programador, David Platt, y yo llegamos bastante más lejos en el cálculo.

De las 200 páginas que ocupa el resultado, dividido en dos artículos y un apéndice, ¿qué peso tiene cada parte, la computacional y la teórica?

Han sido necesarias técnicas teóricas y computacionales para resolver la conjetura débil de Goldbach. Desde mi perspectiva lo importante han sido las mejoras teóricas, cualitativas, que luego se han traducido en mejoras cuantitativas en el contexto computacional. Yo no me planteé la resolución haciendo pequeñas mejoras de lo que ya sabíamos, sino comenzando desde cero aunque, evidentemente, inspirado por las ideas de mis predecesores. Así, empecé a trabajar con el objetivo de hacer todas las mejoras cualitativas posibles y luego eso me llevó a resultados numéricos mucho mejores que los existentes.

¿El método se podrá usar en otros contextos?

Sí, es un resultado general que mejora técnicas muy utilizadas en teoría analítica de números, por lo que se puede usar en un amplio abanico de problemas. De todas maneras, el verdadero aprendizaje de todo esto es que el método del círculo está íntimamente interconectado con otra herramienta analítica de gran importancia, la técnica de la gran criba, hasta tal punto que son prácticamente una misma cosa, y sería muy interesante explotar esta unión en mayor medida.

¿Su trabajo es aplicable para resolver la conjetura fuerte de Goldbach [que afirma que todo número par se obtiene como suma de dos primos; y continua abierto en la actualidad]?

No, no sabemos qué herramienta será la que venza a la conjetura fuerte, todavía parece que su resolución está muy lejos. No podría decir si va a ser resuelta con por estas vías, pero desde luego el método del círculo por sí mismo no resuelve la conjetura fuerte de Goldbach, porque en ese caso la contribución del término de error es mayor que la de la estimación propiamente, y por más lejos que vayamos no podemos decir que el resultado sea cierto.

¿Cuándo fue la primera vez que pensó que este problema podía atacarse?

Comencé a pensar en este problema a finales de 2005, y realmente consideré ponerme a trabajar en la demostración para todos los números impares desde el comienzo de 2006. Desde entonces he estado con ello, pero no con exclusividad, he seguido haciendo otras cosas y terminando otros artículos.

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